回転運動（円運動）をするとき、１秒当たりに進む角度を角速度ω(rad/s)、１分当たりに回転する数を回転数N(RPM)と呼ぶのですが、実は角速度と回転数は互いに変換できる関係性がありました。
この記事では角速度と回転数を変換数公式の紹介と、その計算式の意味をご紹介します。
- 角速度ω(rad/s)と回転数N(RPM)の変換方法と公式の意味-計算式を理解する鍵は時間単位の一致
- 角速度ω(rad/s)と回転数N(RPM)の変換公式【ω=2πN/60】
- 弧度法ラジアン[rad]の意味
- 角速度は１秒間に進む角度
- 回転数（RPM）は１分間に何回転するか
- 角速度を回転数を使って求める計算式【ω=2πN/60】の意味は？
- 角速度から回転数を求める式は【N＝３０ω/π】
- 角速度と回転数と周速度の関係
- 終わりに
角速度ω(rad/s)と回転数N(RPM)の変換方法と公式の意味-計算式を理解する鍵は時間単位の一致
角速度と回転数を互いに簡単に変換しあえる公式があります。
簡単に言うと、どちらか一つだけ分かっていれば、もう一方の値を公式から計算できるということ。つまり、角速度が分かれば回転数を、回転数が分かれば角速度を求めることができるのです。
公式はとても役に立つので、暗記すると便利なのですが、同時に、何故その公式が成り立つのか、いわば公式の意味を知っていると、角速度と回転数の関係性がよりよくわかるようになります。
この記事では公式の意味を理解することを目的に、図を用いながら、「公式が何を意味しているのか」をご紹介していきたいと思います。
角速度ω(rad/s)と回転数N(RPM)の変換公式【ω=2πN/60】
回転数N(RPM)のときの角速度ω(rad/s)を求める公式は次の通りです。
ω=２πN/６０（約分してω=πN/３０としてもOK）
ω：角速度[rad/s]、N：回転数（RPM）
つまり角速度＝２πｘ回転数（/分）÷６０という式です。
この式を使うと回転数から角速度を求めることができます。
例えば、１分間に１回転する場合、
ω=２πｘ１÷６０＝π/３０[rad/s]となります。
１分間に１２０回転ならN＝１２０RPMなので、
ω＝２π ｘ１２０÷６０＝４π[rad/s]が角速度となります。
※角周波数と角速度の関係はこちら
回転数から角速度が分かると地球の自転速度が分かる
公式の意味を考える前に、この公式の使い方を紹介します。
例えば、回転数から角速度が分かることで、なんと、地球の自転速度を計算することができてしまいます。
計算に必要な材料は地球の回転数と半径。
地球の回転数：２４時間で１周
地球の半径：６，３７１ｋｍです。
①まず回転数から角速度を計算します。
地球は２４時間で１周する（正確には23時間56分4秒）ので１分間の回転数に直します。
１分間の回転数 N=１/１４３６．０６RPMです。
②角速度の公式に当てはめる
角速度の公式はω=２πN/６０なので、Nに先ほど求めた回転数を当てはめると、
ω＝２πｘ１/１４３６．０６÷６０＝π/４３０８１．８[rad/s]
となります。つまり、地球の角速度は大体 π/４３０８１．８[rad/s]です。
③角速度に半径をかけて周速度を求めます。
地球の半径６，３７１ｋｍ＝６,３７１,０００ｍを角速度にかけると、
π/４３０８１．８ｘ６,３７１,０００＝１４７．８π ｍ/s
円周率πを１４７．８にかけて求められる自転の秒速は約４６４m/s。
つまり、私たちは地球と共に１秒間に４６４ｍも回転しているという計算になります。
④秒速を時速に直す
秒速４６４ｍを秒速から時速に直すので、４６４ｘ６０ｘ６０＝1,６７０,７３１ｍ。
ｍをｋｍに直して＝１６７０．７ｋｍ/ｈ
と計算で地球の自転の時速を算出することができました。
※角速度と周速度の詳しい解説はこちら
弧度法ラジアン[rad]の意味
さて、ここからは先ほどの公式ω=２πN/６０の意味を確認してみたいと思います。
まず角度の定義であるラジアンですが単位はradと書きます。日本語訳は「弧度」。
radは下記の公式で求められます。
rad=弧の長さ÷円の半径
言い換えれば、radは弧の長さを円の半径で割ることで算出できる角度のこと。
例えば、円の半径が６で弧の長さが６πの場合、
rad=６π/６=πとなり、この扇形の角度はπ[rad]となります。つまり３．１４[rad]。
このπ[rad]がどのような角度なのか。
半径６の円の円周の長さは直径１２xπ＝１２πなので、円周は１２π（直径x３．１４）。弧の長さが６πなので、円を半分に割った形だと分かります。
この扇形の角度は１８０度なので、
１π[rad]=１８０度（π[rad]＝１８０度）
となります。
つまり、弧度法の１π[rad]は度数法の１８０度に相当する角度ということになります。
※ラジアンについての詳しい解説はこちら
角速度は１秒間に進む角度
続いて「角速度とは何か」ですが、
角速度は物が回転するときの速度を角度で表した数値のこと。
つまり、１秒間に何度移動したのか。角速度は角度÷時間（秒）で計算できます。
角速度＝角度/時間（秒）
ω = θ / t [rad/s]
ω：角速度（rad/秒）、θ：角度（rad）、t：時間（秒=s）
角速度の求め方は分かったのですが、求めるときに使用する角度は弧度法のラジアン[rad]です。実は、角速度の角度と言うのは私たちが良く知っている「度」では表せないのです。
私たちは円が１周３６０度だと知っているのですが、角速度を表す場合には私たちが日常でつかう「度数法=○○度」ではなく、先にご紹介した「弧度法＝rad」という単位を使います。
「角度を表すなら、普通の１８０度や３６０度でいいじゃないか」と思うのですが、普通の角度の単位○○度だと不都合な点があったりするのです。
例えば先ほどの１秒間で９０度進む角速度の距離って、一体どのくらい？って言われたときに、○○度という単位からは直ぐに弧の長さが計算できないですよね。ここで役立つのが「rad」なんです。
ここでは詳細は省きますが、是非下記のページから「rad」の活かし方を確認してみてください。
※弧度法と角速度の詳しい解説はこちら
回転数（RPM）は１分間に何回転するか
続いて回転数の意味について。
回転数はRPMという単位で表されることが多いです。RPMはRevolutions per minuteの略で、1分間の回転数を指します。
つまり、1800RPMの場合、1分間に1800回転する、ということです。
※回転数を周波数と極数から求める方法はこちら
角速度を回転数を使って求める計算式【ω=2πN/60】の意味は？
角度rad 角速度の意味と回転数の意味が分かったところで最初に見た角速度ω(rad/s)と回転数N(RPM)の変換公式を見てみましょう。
ω=2πN/60
まずはそれぞれの記号の意味を確認します。
①ωの意味
求めたいωが角速度[rad/s]です。角速度は１秒間に進む角度[rad]のこと。
②２πの意味
２πの意味ですが、１π[rad]は１８０度でした。つまり２π[rad]は３６０度のこと。物が１回転するとその角度は２π[rad]となります。
③Nの意味
Nは１分間の回転数RPM。
④/６０の意味
分を秒に直す。
それぞれの記号の意味が分かったところで、公式の仕組みを考えます。
例えば、N＝１RPMの場合、１分間に１回転＝３６０度回転します。N＝２RPMなら１分間に２回転＝７２０度、３RPMなら３回転＝１０８０度回転します。
度数法の３６０度を弧度法のradに直すと、２π[rad]となり、N＝１RPMの場合、１分間で２π[rad]＝３６０度回転します。つまり、１分間の角速度は２π[rad]となります。
N＝１RPMのときは１RPMｘ２π[rad]＝２π[rad]回転する（３６０度回転する）
N＝２RPMのときは２RPMｘ２π[rad]=４π[rad]回転する（７２０度回転する）
つまり、１分間あたりの角速度の公式は回転数（RPM)に２π[rad]をかけた
N（RPM)ｘ２π[rad]=２πN となるのです。
ただし、角速度は角度を秒で割った速度のことでした。回転数が分だと整合性が取れません。つまり、１分を６０秒に直してあげる必要があり、ここで分を秒に直すために登場するのが「/６０」です。
したがって、物が回転するときの１秒当たりの速度角速度ωは、１分あたりの角速度の２πNを６０で割って、
ω=２πN/６０ と公式が出来上がりました。
日本語で言うと、「２π[rad]（３６０度）に１分あたりの回転数をかけて、分を秒に直すために６０で割る」と、角速度ωを求めることができます。
ちなみにω=２πN/６０を約分して、ω＝πN/３０とする場合も有るのですが、中身は同じですので、個人的にはω=２πN/６０で覚えたほうが理解し易いかなと思います。
（練習）この式を使うと、１分間に１回転する場合の角速度ωは、
ω=２πｘ１/６０＝π/３０[rad/s]となります。
１分間に６０回転するなら、
ω＝2πｘ６０/６０＝２π[rad/s]です。
角速度から回転数を求める式は【N＝３０ω/π】
回転数から角速度を求める計算式はω=２πN/６０でしたが、これ応用して、角速度から回転数を求めることもできます。
先ずはω=２πN/６０を約分し、ω=πN/３０とします。
続いて式を変換
ω=π/３０ｘNなので、
N＝３０ω/πとなります。
ω＝２πの場合、N＝３０ｘ２π/π＝６０RPMとなり、上記の「練習」で求めた１分間に６０回転する場合の角速度ωの式と整合性がとれました。
※加速度についてはこちら
角速度と回転数と周速度の関係
角速度、回転数、周速度はそれぞれがとても良い関係を持っています。これまでの記事で、次の３つの求め方をご紹介しました。
①回転数から周速度を求める：V（m/min）＝πDN＝２πrN
②回転数から角速度を求める：ω（rad/s）＝２πN/６０
③角速度から周速度を求める：v（ｍ/s）＝rω
※V：周速度、ω：角速度、D：直径、r：半径、N：回転数（PRM)
それぞれ公式があるのですが、互いに深い関係性があります。
③の公式のωの部分に②ω＝２πN/６０を代入してみると、
v（ｍ/s）＝r２πN/６０＝２πrN/６０となり、
これを分速に変換すると２πrN/６０ｘ６０＝２πrN＝V（m/min）になり、
①V（m/min）＝πDN＝２πrNと同じ式になりました。
つまり、「回転数から角速度を求る→角速度から周速を求める」のと、「回転数から周速を求める」のは同じことを指しているといえます。
地球の自転時速を回転数から終息を求めるの公式で計算
最初に地球の自転の速度を求めたのですが、その時はまず②回転数から角速度を求め、③角速度に半径をかけて周速度を求めました。
今回は①の回転数から周速度を求めてみると、
地球の１分間の回転数： N=１/１４３６．０６RPM
地球の半径：６，３７１ｋｍ
公式：回転数から周速度を求める：V（m/min）＝πDN＝２πrN
V＝３．１４ｘ１２７４２０００(直径ｍ）ｘ１/１４３６．０６RPM
V＝２７８６０ｍ/min＝１６７１．６ｋｍ/ｈとなり、最初に計算した１６７０．７ｋｍ/ｈとほぼ同じになりました（誤差は最初の計算では小数点以下を省いたため）。
※回転数から周速度を求める方法はこちら
終わりに
この記事では、角速度ω(rad/s)と回転数N(RPM)の変換方法と公式についてご紹介し、公式ω=2πN/60が何を表しているのかをご紹介しました。
角速度は「２π[rad]（３６０度）に１分あたりの回転数をかけて、分を秒に直すために６０で割る」ことで求めることができるので、是非この公式を使って角速度を求めてみてください。
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