すみくにぼちぼち日記

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運動方程式とは? ma=F の公式の意味と立て方-具体例と図を用いて計算方法を解説

運動方程式は、ニュートンがまとめた力学の3つのルールのうちの一つ。

この記事では、運動方程式「ma=F」をご紹介します。

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運動方程式とは? ma=F の公式の意味と覚え方具体例とグラフを用いて計算方法を解説

ニュートンがまとめた力学のルールでは「慣性の法則」、「運動の法則」、「作用・反作用の法則」という3つの重要な法則があります。

運動方程式はこの中の「運動の法則」を数式で表したものです。

 ma=F 

質量×加速度=力

この記事では、このma=Fの意味についてご紹介していきます。

 

ニュートンの3つの法則

まず初めに、ニュートンがまとめた3つの法則の意味をご紹介ます。

①慣性の法則

慣性の法則は、物体は外部から力を受けていないとき、静止する物体は静止し続け、運動している物体は一定の速度で運動を続けるという法則です。

つまり、止まっているものは力が加わっていない限りその場にとどまり、摩擦などが無い宇宙空間で一度動き始めた物体は止める力が働かない限りその方向に動き続けるというものです。

②運動の法則

運動の法則は、止まっているものに力を加えた時に、どのような作用が発生するのかを示した法則です。

結論から言うと、止まったものに力を加えると、その力が加わった方向に「加速度」が生じます。

③作用・反作用の法則

作用・反作用の法則は、物体に働く力は、常に2つの物体の間で力を及ぼしあうように働くという法則。それぞれの力を一方を作用とした時、もう一方を反作用と呼びます。

簡単に言うと、ものすごく重い荷物を両手で押したときに、押し返される感覚を感じたことがあると思います。

この押す力が作用、押し返す力が反作用です。

 

※作用反作用の法則と力のつり合いについてはこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

加速度とは-意味と公式

運動の法則の説明で、止まったものに力を加えると、その力が加わった方向に「加速度」が生じる、と説明しました。

ここで、加速度とは何なのかということを本題に入る前に確認していきたいと思います。

加速度は、「どのくらい速度が変化したのか」を表す数字です。

例えば、信号が青になって走り始めて、スピードが上がって、次の信号で止まる場合、車は一定のスピードで走っているわけではありません。

スピードは0kmから10km、20km、40km、80kmと加速していって、赤信号前ではまた30km、10kmと減速し、最終的には0km、つまり止まります。

この速度が上がったり下がったりする変化のことを「加速度」と呼びます。

加速度は一般的にα(アルファ)で表します。これは、accelerationの頭文字です。

加速度の公式は下記の通りです。

α=Δv/Δt

加速度=速度の変化量÷時間

Δはデルタと読み、変化を指す記号です。

例えば、自転車の速度が10秒間で秒速10mから秒速20mに上がるとします。

10秒間でどのくらい自転車の速度が変化したのかと言うと、

20m/s - 10m/s=10m/sで10m/s変化しています。

つまり10秒間(Δt)で10m/s 速くなっている(Δv)ので、加速度の計算は以下の通りとなります。

α=10m/s÷10s

α=1m/s^2(毎秒毎秒)

自転車は10秒間の間に平均で1m/s^2ずつ加速しているということができます。

加速度というものが何なのかが分かったところで、次はいよいよ運動の法則の「運動方程式」についてご紹介していきたいと思います。

尚、加速度についての詳しい説明は下記の記事をご参照ください。

 

※加速度についての解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

運動方程式 ma=F 成り立ちと意味

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慣性の法則で学んだように、物というのは止まっている間は止まり続けるという性質があります。

では、その物を動かしたいときはどのような運動となるのか。

上の図のように、質量m(massの略)の物に左から右に向かって力F(Forceの頭文字)を加えます。すると、αという加速度が生まれます。

この関係を式に表したのがma=Fです。

ma=Fという式がどいう意味なのかを知るためには、まずは加速度と力、加速度と質量がそれぞれどの様な関係なのかを知ることが必要となります。

 

力と加速度の関係

例えば、すごく重い荷物をのせた荷車を動かしたいと思って力を入れて押したとき、最初は重くてなかなか進まないのが、だんだんと軽くなってどんどん早く進んでいく感じを想像できると思います。

この、「だんだん軽くなり速度が速くなる」というのが、加速度が生じているということ。つまり、同じ力で押し続けていると、加速度が生まれて、どんどん動くスピードが速くなっていくのです。

では押す力を大きくすると生まれる加速度どうなるのか。

想像すると分かるように、力を2倍にすると、加速度も2倍に、3倍にすると加速度も3倍になっていきます。

この力を大きくすると加速度も大きくなる現象を、「物体に生じる加速度はその物体が受ける力に比例する」と表現します。

簡単に言うと、強く押すと早く進むということです。

 

質量と加速度の関係

力を強くすると加速度も大きくなることが分かりました。

今度は、質量と加速度の関係です。

例えば、消しゴムを指で弾くとき、結構軽い力で弾いても飛んでいくのですが、消しゴムを鉄に変えるとどうでしょう。指で弾いても全然動かない映像が頭の中に想像されているのではないでしょうか。

これが、質量と加速度の関係です。

同じ力で物を動かそうとしても、動かしたいものの質量が高ければ高いほど、ものの加速度は小さくなります。

この現象を、「物体が同一の力を受けるとき、生じる加速度は質量に反比例する」と言います。

簡単に言うと、質量が大きいものほど動かしにくいということです。

 

α=k F/m

ここまで、加速度と質量と力の関係を確認してきて、2つのことが分かりました。

・同一の質量の物体に生じる加速度はその物体の受ける力に比例する。

・物体が同一の力をつけるとき、生じる加速度は質量に反比例する。

この2つのことを式に表したのが、

α=k F/m

加速度=比例定数x力/質量

という式です。

これが運動の法則です。

 

ma=F 

α=k F/mという式が加速度と質量と力の関係を表した運動の法則の式です。

この式の比例定数kを消すとより簡単に計算ができるようになるということが感覚的に分かると思うのですが、ニュートンさんも同じように考えました。

そこで、質量が1kgのときに加速度が1m/s^2となる時の力の大きさをN(ニュートン)としようと決めたのです。

これが、

「1Nとは、1kgの物体に1m/s2の加速度を生じさせる力の大きさ。」

というNの定義です。

α=1、m=1の時にF=1なので、それを式にすると、

1=k×1/1

この時kにも1を入れると式が成り立つようになります。

1=1x1/1です。

つまり、k=1をα=k F/mに代入すると「質量が1kgのときに加速度が1m/s^2となる時の力の大きさをN(ニュートン)」が成り立つようになります。

実際にk=1を代入して、

α=F/m

となり、左辺と右辺にmを書けて分数を無くすと、

ma=F

という式となりました。

これで、力と加速度と質量の関係を分かりやすく纏めることができました。

  

運動方程式 ma=Fの立て方と使い方

運動方程式がma=Fだということが分かりました。

ここからは運動方程式の立て方をご紹介します。

運動方程式の立て方の順序は次の通り。

①力の図示

②加速度の設定

③立式

 

①力の図示

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図示はこんな感じ。

mという質量のものにF1, F3という右方向の力とF2という左方向の力が加わった時に、右方向にαという加速度が生まれるということを表しています。

②加速度の設定

加速度の設定というのは、力が加わった時にどちらの方向に加速度が生まれるのかを設定するということです。

上の図では、右方向の力が左方向の力を上回っているので、加速度は右方向に発生します。

③立式

立式は、①の図示と②の加速度を式に表すこと。

ma=〇〇〇

という形となります。

加速度と同じ方向の力は+で、加速度と反対方向の力は-で表します。

上の図を例に立式した場合、

ma=F1+F3-F2

となります。

 

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この記事では、物理の運動方程式についてご紹介しました。

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sumikuni.hatenablog.com

 

終わりに

この記事では、運動方程式の公式「ma=F」について、公式の意味と立て方をご紹介しました。

運動方程式の公式は、止まっているものに力を加えた時に、どのような作用が発生するのかを示している公式です。

ma=F
F:力〔N〕 m:質量〔kg〕 a:加速度〔m/s2〕

また、ma=Fの立て方は、

①力の図示

②加速度の設定

③立式

の3つのステップを意識することが大切ですので、是非実践なさってみてください。

 

※高校生向けオンラインプログラミング教室の紹介記事はこちら

classroom.hatenablog.com

 

※等加速度直線運動についての紹介はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

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