すみくにぼちぼち日記

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等加速度直線運動とは?3つの公式の意味と覚え方-具体例とグラフを用いて計算方法を解説

直線上を一定の加速度を保ちながら進んでいく運動を「等加速度直線運動」と呼びます。

等加速度直線運動には、3つの有名な公式が存在するのですが、この記事では、等加速度直線運動の3つの公式について、その意味を具体例やグラフを用いてご紹介します。

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等加速度直線運動とは?3つの公式の意味と覚え方-具体例とグラフを用いて計算方法を解説

等加速度直線運動というのは、物が真っすぐ進み続けるときに同じ速度で加速し続ける運動のことを指します。

加速度が一定の運動を等加速度運動と呼び、この内、直線上の運動である場合を等加速度直線運動と呼びます。

例えば、家から真っすぐ進むと駅があるときに、駅まで秒速1mで進んでいたのですが、電車に遅れそうになったので速足になり、徐々に小走りになり、最後は全力疾走する場面で、この歩き、早歩き、小走り、全速力と加速されていくスピードが一定の場合を等加速度直線運動だと言うことができます。

等加速度直線運動に関わる有名な公式は3つあります。

①v=v0+αt(t秒後の速度を求める公式)

②x=v0t+1/2αt^2(t秒後の変位を求める公式)

③v^2-v0^2=2αx(tが分からない時に便利な公式)

この記事では、この3つの公式の意味を例やグラフを用いながら解説します。

 

加速度とは-意味と公式

まず、等加速度直線運動の計算で使用する加速度について紹介します。

加速度は、「どのくらい速度が変化したのか」を表す数字です。

例えば、信号が青になって走り始めて、スピードが上がって、次の信号で止まる場合、車は一定のスピードで走っているわけではありません。

スピードは0kmから10km、20km、40km、80kmと加速していって、赤信号前ではまた30km、10kmと減速し、最終的には0km、つまり止まります。

この速度が上がったり下がったりする変化のことを「加速度」と呼びます。

 

加速度の公式

加速度は一般的にα(アルファ)で表します。

加速度の公式は下記の通りです。

α=Δv/Δt

加速度=速度の変化量÷時間

Δはデルタと読み、変化を指す記号です。

例えば、自転車の速度が10m/s(秒)から20m/s(秒)に10秒間の間に上がるとします。10秒間でどのくらい自転車の速度が変化したのかと言うと、

20m/s - 10m/s=10m/sで10m/s変化しています。

つまり10秒間(Δt)で10m/s 速くなっている(Δv)ので、加速度の計算は以下の通りとなります。

α=10m/s÷10s(秒)

α=1m/s^2(毎秒毎秒)

自転車は10秒間の間に平均で1m/s^2ずつ加速しているということができます。

尚、加速度についての詳しい説明は下記の記事をご参照ください。

 

※加速度についての解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

  

公式①v=v0+αt は速度を求める

等加速度直線運動というのは、先ほどご紹介した加速度(速度の変化量)が一定の場合の運動を指します。

等加速度直線運動の1つ目の公式は下記の通りです。

v=v0+αt 

速度=初速度+加速度x時間

この公式は、初速v0で動いているものが、加速度α分だけ加速する場合、t秒後の速度はどうなっているのかということを求める公式です。

つまり、t秒後の速度vは、初速度v0にt秒後の加速度αを足すことで求められます

初速度というのはもともと動いている速さ、加速度はだんだん早くなる速さのこと。

例えば、止まっている人が走り始めてだんだん早くなるイメージで、最初止まっているときは初速度は0m/sですが、だんだんとスピードが上がっていきます。このだんだんスピードが上がるのが加速度αです。

待ち合わせ場所に行くために、歩いて駅に向かう場合、その速度が初速度となるのですが、電車に送れそうになって走り始めます。この走り始めてスピードが上がっている速度が加速度です。

駅に向かって歩いているときは5m/sの速さで歩いていますが、遅れそうだと気づいて走り始めると、毎秒1mの速さで加速していきます。その場合、10秒後の速さはどのくらいとなっているでしょうか。

それを求めるのがこの公式なのです。

 

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続いて図を用いてイメージしてみます。

上の図は、加速度1m/s^2で加速するボールをイメージしてみました。

加速度1m/s^2は、毎秒1mずつ速度が上がっているという意味なので、止まっている状態の秒速0m/sから1秒たつと1m/s、2秒たつと2m/sの速度となっていることが分かると思います。

このように、t秒後の加速分だけ速くなった速度を、初速v0に足してあげると、t秒後の速度を求めることができるのです。

纏めると、t秒後の速度vは、もともとの速度v0(初速)にαの加速度でt秒たった時の速度を足すと、計算することができます。

つまり、公式は v=v0+αt となるのです。

では、初速度5m/sで動く物体が2m/s^2の加速度を持つとき、10秒後の速度vは何m/sとなるか。

公式に当てはめて計算すると、

V=5+2×10

V=25m/s

となりました。

 

公式②x=v0t+1/2αt^2は変位を求める

2つ目の公式は変位を求める公式です。

そもそも変位って何?という感じなのですが、変位というのは、その文字通り、わった後の置を指します。つまり移動した距離(位置)のことです。

2つ目の公式は、初速度v0で移動する物体が加速度αで加速する場合のt秒後の位置を表す公式なのです。秒速1mで歩いて駅に向かっていたけど、途中で遅れそうなのに気づいて毎秒1mずつ加速したときに、10秒後にたどり着く位置を計算する式だと言えます。

公式は以下の通り。

x=v0t+1/2αt^2(^2は2乗の意味)

位置=初速度x時間+1/2x加速度x時間x時間

公式を紹介したのですが、このままだと何のことかさっぱり分かりません。

v=v0+αtは式を見て何となく意味を想像できたのですが… 

だからと言って丸暗記するのも大変。ということで、この公式の意味を図を用いて確認してみたいと思います。実はこの公式は、v-tグラフというグラフを使うことでとても簡単に理解することができるのです。

 

v-tグラフって何?

先ほどの公式x=v0t+1/2αt^2の図解の前に、まずはv-tグラフって何なのか、をご紹介します。

v-tグラフは、velocity-timeグラフという名前のグラフです。速度を縦軸に、時間を横軸に記してあります。

 

v-tグラフ

v-tグラフを使って速度を表してみます。

速度が一定で動く場合、どれだけ時間がたっても初速度v0から速度が変化しないため、v-tグラフで表されるグラフは上のように、v0の速度がずっと続いていきます。

v-tグラフ

速度がだんだんと上がっていく場合、つまり加速度がある場合は、上のグラフのように、初速度v0から時間がたつにつれてグラフが右肩上がりに上がっていきます。

つまり、時間がたつほど速度が増しているのです。

このように、等加速度運動をグラフで表すことができるグラフをv-tグラフと呼びます。

 

v-tグラフ 位置

距離を求める公式は、速度×時間でした。

速さv0m/sでt秒移動したときの距離は時間tをかけてv0×tとなります。速さ5m/sで3秒移動したときの距離は5×3=15mとなります。

v-tグラフは縦軸に速さ、横軸に時間となるので、速度v0でt秒進んだ時の位置は上の図のように、v0とtの交わる部分です。

v-tグラフ 面積

そして、実は、先ほど計算した距離を求める公式

距離=速さ×時間

の式をv-tグラフで見ると、時間は底辺、速さは高さと考えることができ、速さ×時間で求めた距離が、上のグラフの底辺×高さと同じとなり、青色の部分の面積に等しいということが分かります。

つまり、v-tグラフを使うと、時間(底辺)×速度(高さ)で求まる面積が、移動した距離=変位=位置になるのです。

 

v-tグラフでx=v0t+1/2αt^2の意味

v-tグラフで求まる面積が、速度vで移動t秒移動したときの位置だということが分かりました。

先ほどのv-tグラフの説明の時に少しご紹介した、加速度を表すv-tグラフをもう一度見てみます。

 

v-tグラフ 加速度

このグラフは、初速度v0で動いていた物体が加速度αの分だけ加速している状態を表しています。

つまり。速度v0で歩いていたのに、電車に乗り遅れそうになって、加速度αで加速しながらt秒進んだときのグラフです。

速度が一定の場合にはグラフはずっと時間軸と平行だったのですが、速度が上がっていくので、グラフも右肩上がりになっていきます。

このグラフ、実は最初の公式であるv=v0+αt をグラフで表したものです。

初速度v0で進んだ位置(縦軸のv0)から、加速度αで加速しながらt時間分右へ進んでいった図なのです。

 

v-tグラフ v=v0+αt

2つ目の公式x=v0t+1/2αt^2は、加速度αでt秒進んだ時の位置を求める公式でした。

つまり、初速v0、加速度α、時間t で進んだ場合の位置を求めます。

この公式をv-tグラフに表してみます。

v-tグラフは、面積を求める公式である底辺×高さが、距離を求める公式の時間×速度と等しくなるグラフでした。

つまり、この上のグラフを見ると、v0で進み続けた場合の距離をv0×tで求めることができ、v0からαだけ加速したときの距離はv0×tの上にある三角形の面積を求めることで計算できることが分かると思います。

 

v-tグラフ 変位

 

グラフで表すと、四角の底辺の長さはtとなり、高さはv0となります。

上の三角形の底辺もtで同じです。三角形の頂点はvなのですが、vの位置はv=v0+atです。図の右側の辺を見ると、四角形高さがv0なので、三角形の高さはv0+at-v0でatとなります。

 

v-tグラフ 変位 求め方

あとは上の図のように、青色の四角形と赤色の三角形の面積の和を求めます。

青色の四角形の面積はt×v0=v0t…①

三角形の面積の公式は底辺×高さ÷2なので、

赤色の三角形の面積=t×at÷2=1/2at^2…②

①と②を足すと、

四角形+三角形=v0t+1/2at^2となり、初速v0、加速度αで進むときのt時間後の位置を求めることができました。t時間後の位置をxと表すと

x=v0t+1/2at^2となり、最初に学んだ公式を作ることができました。

 

公式③ v^2-v0^2=2αxは組み合わせ

等加速度直線運動の速度を求める公式と、変位(位置)を求める公式の意味が分かってきたところで、最後はこの2つの式を組み合わせることで時間(t)が分からない場合にも計算ができる便利な3つ目の公式をご紹介します。

公式は下記の通り。

v^2-v0^2=2αx

速度の二乗-初速度の二乗=2×加速度×変位

 

x=v0t+1/2at^2にv=v0+atを代入する

3つ目の公式は、時間(t)が分からない時に役立つ公式で、速度を求める公式を変位を求める公式に代入することで求めることができます。

まず、1つ目の公式と2つ目の公式がこちら。

v=v0+at…①

x=v0t+1/2at^2…②

3つ目の公式を作るために②に①を代入します。

最初に①の式をt=の形に直します。

v=v0+at

at=v-v0

t=(v-v0)/a

この式を②に代入します。

x=v0x(v-v0)/a+1/2a{(v-v0)/a^2}

この式を解いていくと、

v^2-v0^2=2αx

3つ目の公式を導き出すことができました。

 

公式③はどう使う?

公式①と公式②はそれぞれ速度を求めたいときと変位(位置)を求めたいときに使うので、使いどころの想像はつくのですが、公式③はどのような場面で使用するのでしょうか。

例えは、

ボールが初速度2m/sで坂道を転がり始めてから加速度2m/s^2で10m進んだ時の速さを求めよ。

という問題。

この問題はわかっている数値がv0=2m/s、α=2m/s^2、x=10mですので、時間tが分かりません。この場合時間tを必要としない公式③を使います。

v^2-v0^2=2αx

v^2-2^2=2×2×10

v^2-4=40

v^2=36

v=6m/s

ということで、初速2m/sで転がり始めたボールが2m/s^2で加速していったときに、10m進んだ状態での速度vを求めることができました。

 

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等加速度直線運動の3つのグラフ

最後に、等加速度直線運動を考えるときに便利な、a-tグラフ、v-tグラフ、x-tグラフという3つのグラフをご紹介します。

 

α-tグラフ

α-tグラフは、縦軸にα(加速度)、横軸にt(時間)が使用されるグラフで、加速度αの変化量を一目で把握できるグラフです。

等加速度直線運動というのは、加速度が常に一定の運動ですから、グラフのαは変化せず、下の図のようなグラフとなります。

 

等加速度直線運動 α-tグラフ

v-tグラフ

2つ目の公式の説明に使用したv-tグラフは速度を縦軸に、時間を横軸に記してあります。物体の動きが初速度から変わらない場合は速度はv0から変化しないグラフとなりますが、加速度を持っているときは右肩上がりのグラフとなります。

v-tグラフ

x-tグラフ

x-tグラフは縦軸に変位が、横軸に時間が記されるグラフです。

等加速度直線運動の場合、時間がたつにつれて速度が増えていく(加速する)ので、進む距離も加速度分だけ大きくなります。
そのため、グラフは右上がりの曲線となります。

x-tグラフ

 

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終わりに

この記事では、等加速度直線運動の3つの公式について、それぞれどういう意味なのかということを、具体例とグラフを使ってご紹介しました。

①v=v0+αt(t秒後の速度を求める公式)

②x=v0t+1/2αt^2(t秒後の変位を求める公式)

③v^2-v0^2=2αs(tが分からない時に便利な公式)

公式を暗記するのはとても大変なのですが、公式の意味や成り立ちを理解することで、納得して公式を使うことができるようになると思いますので、是非、この3つの公式の意味を考えながら等加速度直線運の勉強を進めてみてください。

 

※角加速度の求め方と公式の解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

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