すみくにぼちぼち日記

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角速度ωの計算方法(公式)と角速度を使った周速度の求め方-円運動における角速度と周速度の関係とは

物が回転するときの速度を角度で表した数値を「角速度」といいます。角速度はω(オメガ)で表し、角度(ラジアン)を時間で割ることで求めることができます。

この記事では角速度ωの求め方と公式の意味、角度「ラジアン」とは何か、そして角速度と周速度の関係をご紹介します。

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角速度ωの計算方法(公式)と角速度を使った周速度の求め方-円運動における角速度と周速度の関係とは

回転運動をする物体がどのくらいの速度で動いているのかを求めるときに役立つのが「角速度」という概念です。

角速度はその名の通り、物が回転したときの速さを角度を使ってあらわした数値のこと指します。ちなみに、物が回転するときの速さを距離で表したものは周速度と言います。

この記事ではそんな物の回転の速さを角度で表してしまうという大胆でユニークな発想の「角速度」について、更に角速度と周速度の関係をご説明します。

 

※周速度の公式と内容解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

角速度の計算方法(公式)【ω = θ / t [rad/s]

角速度の求め方は次の通りです。

角速度=角度/時間

ω = θ / t [rad/s]

ω:角速度(rad/秒)、θ:角度(rad)、t:時間(秒)

 

下の図のように、例えば1秒間に大体90度くらい回転したとすると、その角速度ωは動いた角度分(大体90度、下の図ではθ)分が角速度となるので、角速度は「角度÷時間」で表すことができます。なので、この場合、ω=90度/秒です。f:id:k-heki:20200929052049p:plain

ただし、角速度の角度と言うのは私たちが良く知っている「度」では表せないのです。私たちは円は1周360度だと知っているのですが、角速度を表す場合には私たちが日常でつかう「度数法=○○度」ではなく、「弧度法=rad」という単位を使います。

 

弧度法「rad(弧度)」とは

角速度の単位は「rad」で表すと述べました。では、この「rad」とな何でしょうか。

私たちが良く知っている「rad」というと「Radwimps」です。「Radwimps」の「rad」は「かっこいい!、Cool!」という意味なのですが、この弧度法の「rad」は「ラジアン」と読み日本語では弧度と訳します。このラジアンは角度を表す単位です

「角度を表すなら、普通の180度や360度でいいじゃないか」と思うのですが、普通の角度の単位○○度だと不都合な点があったりするのです。

例えば先ほどの1秒間で90度進む角速度の距離って、一体どのくらい?って言われたときに、○○度という単位からは直ぐに弧の長さが計算できないですよね。ここで役立つのが「rad」なんです

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radを求める公式【rad=弧の長さ÷円の半径】と度数法への変換

rad を求める公式は、

rad=弧の長さ÷円の半径です。

例えば、円の半径が6で弧の長さが6πの場合、

rad=6π/6=πとなり、この扇形の角度はπ[rad]となります。つまり3.14[rad]。

半径が6で弧の長さが6πの扇形がどんな形かと言うと、まず半径6の円の円周の長さは直径12xπ=12πなので、円周は12π(直径x3.14)です。

弧の長さは6πなとで、円周全体の12πを6πで割ると円周のどれくらいの部分が弧の長さかが分かります。

12π÷6π=2なので、円周を半分に割った扇形は、円周の半分の形です。つまり、半径6で弧が6πの扇形だと分かります。

 

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上の図のように半径6で、弧の長さ6πの扇形は、円を半分に割った扇形でした。この扇形の角度は180度なので、

1π[rad]=180度(π[rad]=180度)

となります。

つまり、弧度法の1π[rad]は度数法の180度に相当する角度ということになります。

 

ラジアンについての詳しい解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

radに半径をかけて弧の長さを求める【弧の長さ=円の半径xrad

ラジアンの計算ができましたが、最初に疑問に思った何故度数法ではなく弧度法を使うのかですが、実は弧度法を使うと角度から弧の長さを簡単に求めることができるのです。

ラジアンの求め方は、

rad=弧の長さ÷円の半径

なので、式を入れ替えると

弧の長さ=円の半径xradになります。

つまり、radの値に半径をかけると弧の長さを算出することができちゃいます。

角度が1/2π[rad]で、

半径(r)=6の場合

1/2πx6=3π 

弧の長さは3πになりました。つまり、3x3.14で大体9.42くらい。

半径(r)=12の場合は下記の通りです。

1/2πx12=6π

 こちらは6x3.14=18.84くらいの弧の長さです。

 

radを使った角速度の計算練習

ここで最初の公式を使って角速度を計算してみましょう。

半径が6、弧の長さは3πで計算します。

まずは弧度法の角度を計算すると、

rad=円弧÷半径なので、

3π÷6=1/2πがこの扇形の角度radです。

次に1秒間に1/2π[rad]進む場合の角速度を計算します。

公式が「角度θ÷時間」ω = θ / t [rad/s]

ω:角速度(rad/秒)、θ:角度(rad)、t:時間(秒)

なので、

ω=1/2π/秒=1/2π[rad/s](秒はSecoundの略sを使います)となります。

度数法に直すと、1π=180度なので、1/2π=180度/2=90度なりました。

つまり、1秒間に90度(=1/2π[rad])回転するということです。

 

※角速度と回転数の換算についてはこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

角速度と半径を使って周速度を求める【V = rω

radに半径をかけると簡単に弧の長さを求めることができるとご紹介しました。この技を転用すると、角速度からその1秒の間に進んだ距離を求めることができます。

角速度は1秒間に○rad分だけ回転するということ。つまり、radに半径をかけて算出する弧の長さがそのまま1秒間に回転する弧の長さ=速度(弧が動く速度)となります。

それでは、先ほどの角速度の計算で算出した1/2π[rad/s]に様々な半径をかけてみましょう。

半径が8mの場合:8x1/2π[rad/s]=4なので、1秒間に4m円弧を描くということ。

半径が12mの場合:12x1/2π[rad/s]=6なので、1秒間に6mの円弧を描きます。

 

このように、簡単に、1秒に進む弧の長さ=周速度(m/秒)を求めることができました。

例えば、ここでradを使わずに、度数法を用いて弧の計算をω=90度/秒で計算しようと思っても、とても難しいのですが、弧度法を使うことでとても簡単に計算することができました。

ちなみにこれは一秒間に進む距離と言うことなので、この距離を計算式で表すと、

V = rω

V=m/秒、r=半径(m)、ω=角速度(rad/秒) 

ととても綺麗な計算式で表すことができました。

 

※角加速度についての解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

角速度を使った周速度の求め方練習問題

さて最後に練習問題です。

①半径6m、弧の長さが3πの場合のradは?

②2秒間に1π[rad]進む場合の角速度は?

③半径8mの円周を1秒間に1/3π[rad]進むときの速度Vは何m/s?

※答えは「終わりに」で

 

※加速度の解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

終わりに

この記事では、ラジアン[rad]の意味、角速度ωを求める計算式、角速度から周速度を求める方法をご紹介しました。

・rad=弧の長さ÷円の半径

・弧度法の1π[rad]=180度に相当

・弧の長さ=円の半径xrad

・角速度ωの求め方:ω = θ / t [rad/s]

・角速度から周速を求める:V = rω

 

の5つを是非使ってみてください。

 

練習問題の答えはこちら

①3π/6=1/2π [rad]

②1π/2=1/2π [rad]

③1/3π÷1×8=8/3π (m/秒)

 

 

※モーターの回転数の計算方法はこちら 

sumikuni.hatenablog.com

 

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