組合せとは、いくつかのものから取り出す順序を無視して取り出して組にしたものをさします。
高校数学で初めの方に習う単元であり、特に重要な考え方です。
この記事では、組合せについて、組合せがどのようなものなのか、また、組合せの公式の意味や計算方法などをご紹介します。
- 組合せとは？公式の意味, C, 計算方法の覚え方-組合せ・組分け・同じものを含む順列の違いも解説
- 組合せとは
- nCr-n個からr個選ぶ組合せの公式
- 組み分け
- 同じものを含む順列
- 自宅学習ならスタディサプリがおすすめ
- 終わりに
組合せとは？公式の意味, C, 計算方法の覚え方-組合せ・組分け・同じものを含む順列の違いも解説
組合せは、高校数学で最初の方に学ぶ「場合の数」の一つの分野で、取り出す順序を無視して取り出して組にしたものを計算する方法です。
高校の初期に学ぶ数学でありながら、大学入試では必ずと言って良いほど出題され、就職試験やSPI（就活時に課される試験）にも頻出するなど、人生の節目節目で必要となる知識でもあります。
この記事では、
・組合せとは何か
・組合せの公式と計算方法
・組み分け
・同じものを含む順列
という4つについて解説していきたいと思います。
※順列の解説記事はこちら
組合せとは
組み合わせは、「いくつかのものから取り出す順序を無視して取り出して組にしたもの』場合の数のことをいいます。
つまり、何通りの選び方かを考えることの考え方を組み合わせと呼びます。
組合せには、
n個からr個選ぶ場合=nCr
組分け(組に名前がある場合)
組分け(組に名前がない場合)
同じものを含む順列
という4つの種類があります。
ここからは、それぞれの式の意味を考えていきたいと思います。
nCr-n個からr個選ぶ組合せの公式
n個あるものからr個選ぶ場合の順列の公式は大文字のC（Combination）を使って表します。
異なるn個から、r個を選ぶときに使える公式で、
nCr
となります。
例えば、Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人から3人選ぶパターンを計算したいときは、
4C3
となります。
計算方法
計算方法は、
nCr=nPr/r!となります。
公式の意味
順列の公式がnCrだということが分かりました。
それでは、このnCrの意味はどのようなものなのでしょうか。
先ほどの解説のように、例えば、異なるn個が、A、B、C、Dの4つで、そこから3つを選ぶときは、
{A,B,C}、{A,B,D}、{A,C,D}、{B,C,D}
と言ったように、4通りの組合せ方があることが分かります。
これを式に表したのが
nCr
です。
つまり、4C3=4となります。
では、どのように計算すると4C3=4となるのかを考える時、まずは4個から3個を選び並べる順列を考えます。この場合、4P3=24通りとなります。
つづいて、この選んで並べるというの「選ぶ」と｢並べる」に分けて考えます。
「選ぶ」は4C3でした。「並べる」は、3つのもの全てを並べるので3!となります。
「選んで並べる」というのは「選んだもののパターン」の中に「並べるパターン」がいくつあるかなので、例えば4つ選んでそれぞれ3パターンずつ有る場合は4x3=12通りとなります。
つまり、
「選んで並べる」=「選ぶ」×「並べる」
となるので、
4P3=4C3×3!
4P3は=24となり、
4C3=4, 3!=6, 4x6=24となるので、
4P3=4C3×3!が成り立つことが分かりました。
では、4C3の計算方法がどうなるのかというと、
4P3=4C3×3!
4C3=4P3/3!となり、nCr=nPr/r!となるのです。
組み分け
組み分けは、選んだものを組に分けるときの計算方法です。
組み分けは「組に名前がある場合」と「組に名前が無い場合」の2通りあります。
組に名前がある場合
6人の生徒をA、B、Cの3つの組に分ける場合の組み分けを考えいます。
これは、
①Aのクラスに6人から2人選ぶ=6C2通り
②Bのクラスに残りの4人から2人選ぶ=4C2通り
③Cの組に最後の2人を入れる=2C2=1通り
という組合せ。
つまり、①×②×③で組み合わせ方の総数が分かるので、
6C2×4C2×2C2となり
計算すると、90通りとなります。
組に名前が無い場合
続いて組に名前が無い場合、つまり、2人組を3つ作る場合を考えます。
組に名前がある場合、例えば3クラスのA組、B組、C組で違いがあるので、同じ香川さんと山口さんのグループであっても、A組に入るかB組に入るかC組にはいるかで結果が異なるということが分かります。
例えばクラス替えの場合、A組は山田先生、B組は鈴木先生、C組は田中先生というようにそれぞれの組で担任が異なるため、A、B、Cのどの組に入るかが大切になるということが想像できます。
一方、名前がついていないグループ分けの場合、例えばグループワークで2人1組を3グループ作るとき、そのグループの名前は重要ではないため、香川さんと山口さんのグループは1つのパターンしかないということが分かると思います。
ですので、この場合、名前がついた組分けのパターンから、B組パターンとC組パターンを消去する計算が必要なのです。
例えば、グループ分けされる人をa,b,c,d,e,fとして、A,B,Cの3つの組に分けるとき、
ab, cd, efという組み分けになるのは
A,B,C、A,C,B、B,A,C、B,C,A、C,A,B、C,B,A
という6通り。
つまり、A,B,Cの順列である3!通りあることになります。
これがac, bd, efなど組み分けが変わっても全て3!通りの同じグループ分けが存在するため、重複を削除するために全ての組合せパターンである6C2×4C2×2C2を3!通りで割って
6C2×4C2÷3!
とすると、同じ組合せが被らないような組み分けができるようになるのです。
同じものを含む順列
最後は同じものを含む順列です。
例えば、a,a,b、のような順列がこの順列になります。
まず、このa,a,bをa1,a2,bという3つの順列として考えてみます。
すると、3!通り=6通りとなります。
a1,a2,b、a2,a1,b1、a1,b,a,b、a2,b,a1、b,a1,a2、b,a2,a1
ただし、この順列は同じ文字を区別している時の順列であり、この区別を無くす場合、下記の3パターンの順列となることが分かります。
①{a1,a2,b、a2,a1,b}=a,a,b
②{a1,b,a,b、a2,b,a1}=a,b,a
③{b,a1,a2、b,a2,a1}=b,a,a
つまり、同じ順列となる組合せが、①で2!、②も2!、③も2!通りずつ含まれていることとなるので、同じ順列を消すために全体の6通りを2!通りで割ってあげることで、同じ順列を含まない順列を求めることが可能です。
3!÷2!が答えとなります。
aがp個、bがq個、cがr個で合計n個である場合の順列は、
n!/p!q!r!
という計算で求めることができるのです。
例えば、aが5個、bが1個、cが3個なら、
9!/5!・3!となります。
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ここまで、数学の「組合せ」についてご紹介してきました。
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終わりに
この記事では、高校数学で学ぶ「組合せ」について解説しました。
組合せは、大学入試試験にも頻出の単元で、大人になった時の就職試験や転職の試験でもよく出題される問題ですので、是非しっかりと勉強してみてください。
覚える際には意味と図をイメージするのがおすすめ。しっかりと意味を考えながら組合せを勉強なさってみてくださいね。
※自由落下についての解説はこちら
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