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鉛直投げ上げとは? 3つの公式の意味と覚え方-重力加速度-gの理由や最高点の求め方(計算方法)も紹介

物を上に投げ上げたときのものの運動を「鉛直投げ上げ運動」と呼びます。 

鉛直投げ上げ運動には、3つの有名な公式が存在するのですが、この記事では、鉛直投げ上げ運動の3つの公式について、その意味を具体例やグラフを用いてご紹介します。

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鉛直投げ上げとは? 3つの公式の意味と覚え方-重力加速度-gの理由や最高点の求め方(計算方法)も紹介

鉛直投げ上げとは、物を真上に放り投げたときのものの動きのことを指します。

投げ上げた初速度で物は上へと上がっていくのですが、地球の重力によって重力加速度分だけ速度はだんだんと落ちていき、最高点に達したらその後自由落下を始めます。

この投げ始めから最高点に達するまでの動きである「鉛直投げ上げ運動」には3つの有名な公式が存在します。

 

鉛直投げ上げの公式

・速度 v=v0-gt

・変位 y=v0t-1/2gt^2

・時間を含まない式 v^2-v0^2=-2gy

 

ちなみに、この鉛直投げ上げ運動は、等加速度直線運動の代表例の一つで、同じく等加速度直線運動の仲間に鉛直投げ下ろし運動と自由落下があります。

この記事では、等加速度直線運動や自由落下の知識を使いながら、鉛直投げ上げ運動についてご紹介します。

尚、等加速度直線運動についてよくわからないという場合は下の記事を先にご覧頂くと、鉛直投げ上げ運動についても理解しやすいかなと思います。

 

※等加速度直線運動の解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

重力加速度-gの理由

自由落下や鉛直投げ下ろしでも使った重力加速度(g)ですが、鉛直投げ上げの場合、-gとなります。ちなみにgは英語のgravity(重力)のgです。

理由は自由落下や鉛直投げ下ろしの時は物の進行方向が下向きで、下に行く速度に重力加速度が加算されていくという式だったので、重力加速度分(9.8m/s^2)だけ速度が上がっていく式となっていました。

図で表すと下の絵のような感じで、0秒時点から、下に向かってものが落ちていき、時間が経つにつれて重力加速度が加わり速度が速くなっていくイメージです。

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一方で、鉛直投げ上げの場合、上に物を放り上げ、時間が経つごとに重力加速度分だけ上に上がっていく速度が遅くなっています。

つまり、物が進む方向と反対方向に重力加速度が加算される=もの速度が減速するため、重力加速度をマイナスで表すことで、重力加速度分の物の減速を表現しているのです。

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鉛直投げ上げ運動の公式は、物を上に投げ上げたときの速度や変位(移動した位置)を求める公式ですので、重力加速度分だけ物の速度が遅くなると考えると、「重力加速度=-g」が理解しやすいかなと思います。

 

公式①v=v0-gt は速度を求める

鉛直投げ上げ運動の最初の公式は、物を上に放り投げたときに、t秒たった時の速度を求める公式です。

v=v0-gt

速度=初速度-重力加速度x時間

日本語で見るととても分かりやすい公式です。求めたい速度は物を放り投げたときの速度からt秒後の重力加速度分を引いてあげることで求められます。

簡単に言うと、投げ上げたものが数秒後に重力分遅くなった場合の速度を求める公式です。

 

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物を真上(鉛直方向)に投げると、毎秒9.8mの速さで減速していきます。この毎秒9.8減速することを重力加速度といいg=9.8m/s^2(^2は2乗)で表します。

重力加速度は常に一定で、重さによって落ちる速度が変わるということはないとガリレオ・ガリレイの落下の実験によって発見されました。

つまり、物を鉛直方向に投げ上げると、上の図のように、1秒ごとに9.8m/sずつ速度が遅くなっていくイメージです。

例えば秒速20mで投げ上げたボールの2秒後の速度を求めるなら、

V=20m/s-9.8x2s

V=2m/s

となります。

物を投げるときの速度(初速度)v0(m/min)からt秒間分の重力加速度を引いてあげることで、t秒後の速度を求めることができるのです。

鉛直投げ上げ v-tグラフ

公式①をグラフにするとこんな感じ。縦軸が速度、横軸が時間のv-tグラフです。

初速度(投げ上げる瞬間)の速度が一番早く、その後重力加速度分ずつ速度が落ちていきます。速度0の部分がボールの最高到達地点で、0を過ぎると自由落下へと変わり、重力加速度分ずつ落下速度が加速していくイメージです。

 

公式②y=v0t-1/2gt^2で変位を計算

変位というのは、その文字通り、わった後の置を指します。つまり移動した距離(位置)のことです。

2つ目の公式は、初速度v0で上昇を始めた物体のt秒後の位置yを求める公式です。

例えば、秒速20mで投げ上げられた物体が、毎秒9.8m(重力加速度分)ずつ減速したときに、10秒後にたどり着く位置を計算する式だと言えます。

公式は次の通り。

y=v0t-1/2gt^2

変位=初速度x時間-(1/2x重力加速度x時間^2)

それでは、この公式の意味を図を用いて確認してみたいと思います。実はこの公式は、v-tグラフというグラフを使うことでとても簡単に理解することができます。

 

v-tグラフで変位を求める

先ほどの公式y=v0t-1/2gt^2の図解の前に、まずはv-tグラフって何なのか、をご紹介します。

v-tグラフは、velocity-timeグラフという名前のグラフです。速度を縦軸に、時間を横軸に記してあります。

 

v-tグラフ


v-tグラフを使って速度を表してみます。

速度が一定で動く場合、どれだけ時間がたっても初速度v0から速度が変化しないため、v-tグラフで表されるグラフは上のように、v0の速度がずっと続いていきます。

 

v-tグラフ

速度がだんだんと上がっていく場合、つまり加速度がある場合は、上のグラフのように、初速度v0から時間がたつにつれてグラフが右肩上がりに上がっていきます。

つまり、時間がたつほど速度が増しているのです。

このように、等加速度運動をグラフで表すことができるグラフをv-tグラフと呼びます。

 

v-tグラフ 位置

距離を求める公式は、速度×時間でした。

速さv0m/sでt秒移動したときの距離は時間tをかけてv0×tとなります。速さ5m/sで3秒移動したときの距離は5×3=15mとなります。

v-tグラフは縦軸に速さ、横軸に時間となるので、速度v0でt秒進んだ時の位置は上の図のように、v0とtの交わる部分です。

 

v-tグラフ 面積

そして、実は、先ほど計算した距離を求める公式

距離=速さ×時間

の式をv-tグラフで見ると、時間は底辺、速さは高さと考えることができ、速さ×時間で求めた距離が、上のグラフの底辺×高さと同じとなり、青色の部分の面積に等しいということが分かります。

つまり、v-tグラフを使うと、時間(底辺)×速度(高さ)で求まる面積が、移動した距離=変位=位置になるのです。

 

y=v0t-1/2gt^2 の意味を考える

面積を求めることで変位を計算することができる便利なグラフがv-tグラフです。

このv-tグラフを用いて鉛直投げ上げ運動の変位を求める公式y=v0t-1/2gt^2 の意味を考えていきます。

 

鉛直投げ上げ運動 v-tグラフ

最初に鉛直投げ上げ運動のv-tグラフは、公式①で確認したグラフと同じです。

 

鉛直投げ上げ運動 v-tグラフ


変位を求めるためには、面積を求めるのですが、今回求めたい変位は、ボールを投げ上げてから最高到達点(V=0)に達し、その後落ち始めるという一連の時点の位置です。

つまり、上り始めたときの位置、最高地点(v=0)、落ちていくときの位置の3つの地点があるということ。

そして、その位置を求めるために、v-tグラフの面積を求めることが距離を求めることという性質を利用します。

そして、どの面積を求めるかというと、v=0より上にある緑の三角形の面積と、v=0より下にある黄色の三角形の面積です。

 

鉛直投げ上げ運動 v-tグラフ

では、どうやって面積を求めるのかというと、まず何秒の時点でボールがv=0になるかが分からない状態なので、底辺の長さが分からず、緑の三角形の面積も黄色の三角形の面積も求めることができません。

一方で、全体の時間が分かっているので、0-tの長さを求めることができます。

ですので、初めに上の図のように補助線を引いて、縦の辺の中がv0と横の辺の長さtが作る四角形の面積を求めます。

 

鉛直投げ上げ運動 v-tグラフ

つまり上の図の緑と青の部分の四角形の面積です。

この面積を求める式は、縦x横ですので、

v0×t

となります。

続いて、いま求めた四角形の面積から青の部分を引き、黄色の三角形の面積を足さなくてはなりません。

そこで注意してグラフを見ていくと

 

鉛直投げ上げ運動 v-tグラフ


上の図のように、オレンジと黄色の部分が一つの大きな三角形だということが分かります。この三角形の面積は底辺x高さ÷2で求めることができます。

底辺の長さはt。高さはv=v0-gtのグラフということで、左の縦軸のv0地点から下にgt分だけ進んだ位置がvの位置です。言い換えると、vの点から上にgt分上がるとv0の位置となります。

つまり高さはgtとなります。

三角形の面積はt×gt×1/2となり

1/2gt^2となることが分かります。

最初に求めた四角形の面積の水色の部分面積と、今求めた三角形のオレンジ色の部分の面積を消してあげると緑の三角形と黄色の三角形の面積が求まります。

なので、

四角形の面積vt-三角形の面積1/2gt^2=緑の三角形+黄色の三角形

vt-1/2gt^2

となり、緑の三角形の面積と黄色の三角形の面積の和を求めることができました。

v-tグラフの性質から面積=変位(y)となるので、

y=v0t-1/2gt^2

という2つ目の公式が出来上がりました。

 

公式③v^2-v0^2=-2gyは組合せ

鉛直投げ下ろし運動の速度を求める公式と、変位(位置)を求める公式の意味が分かってきたところで、最後はこの2つの式を組み合わせることで時間(t)が分からない場合にも計算ができる便利な3つ目の公式をご紹介します。

公式は下記の通り。

v^2-v0^2=-2gy

速度の2乗-初速度の2乗=-2×重力加速度×変位

 

y=v0t-1/2gt^2にv=v0-gtを代入する

3つ目の公式は、時間(t)が分からない時に役立つ公式で、速度を求める公式を変位を求める公式に代入することで求めることができます。

まず、1つ目の公式と2つ目の公式がこちら。

v=v0-gt…①

y=v0t-1/2gt^2…②

3つ目の公式を作るために②に①を代入します。

最初に①の式をt=の形に直します。

v=v0-gt

gt=-v+v0

t=(-v+v0)/g

この式を②に代入します。

y=v0(-v+v0)-1/2g{(-v+v0)^2}

この式を解いていくと

v^2-v0^2=-2gy

という式が出来上がります。

 

鉛直投げ上げ最高点を求める公式「v0^2/2g」

投げ上げたボールの最高到達点を求めることもできます。

移動した後の位置を求めるので、変位yを求めることとなり、

公式②y=v0t-1/2gt^2

を使います。

まず、最高到達点はv=0となる地点です。

公式①v=v0-gt

にv=0を代入。

0=v0-gt

t=v0/g

この式を公式②y=v0t-1/2gt^2に代入。

y=v0×v0/g-1/2g×v0/g

y=v0^2/g-1/2v0

y=v0^2/2g

となりました。

 

鉛直投げ上げ運動の2つのグラフ

ここまで鉛直投げ上げの3つの公式と、鉛直投げ上げ運動をしている物体の最高到達点の求め方をご紹介しました。

最後に、鉛直投げ上げ運動で重要なv-tグラフとy-tグラフをご紹介します。

 

v-tグラフ

鉛直投げ上げ v-tグラフ

ここまでの解説にも度々登場したこちらのv-tグラフ。Velocity-Timeグラフということで、縦軸に速度、横軸に時間となっているグラフです。

鉛直投げ上げ運動の場合、投げた瞬間が最高速度となり、時間が経つにつれて重力加速度が下に向かって働くことでスピードが落ちていくという特徴を持っています。

その速度をグラフに表すとこのように初速度v0から右下がりに下がっていくグラフとなります。

グラフの通り、速度が0m/sの時が上に投げられたものの最高到達点。最高到達点を過ぎると自由落下運動へと代わり、マイナス方向にスピードが上がっていき(落ちる方向に加速し)、最終的に地面に落ちて運動が停止します。

 

y-tグラフ

鉛直投げ上げ運動 y-tグラフ

ご紹介する2つ目のグラフは、y-tグラフです。

y-tグラフは縦軸に変位(移動した位置)、横軸に時間が書いてあるグラフです。

このグラフを見ても分かるとおり、鉛直投げ上げ運動では、最高到達点までは上方向に物が移動していき、最高到達点にたっすると段々と物が落ちていくという変位となります。

鉛直投げ上げ運動では上に放り投げられた物が重力加速度(9.8m/s^2)ずつ減速していき、最高到達点に達すると、今度は重力加速度分ずつ加速していくという動きとなります。

したがって、投げられた物の位置も同じように、上がって下がるという動きとなります。物が0の地点まで戻ってきて(投げ上げた手の位置)、そのまま地面に着地し動きが止まるまで、加速を続ける運動です。

 

※自由落下運動についての解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

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スタディサプリの感想はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

終わりに

この記事では、鉛直投げ上げ運動の3つの公式をご紹介しました。

・速度 v=v0-gt

・変位 y=v0t-1/2gt^2

・時間を含まない式 v^2-v0^2=-2gy

鉛直投げ上げ運動の公式は、暗記しようと思っても中々難しいと思いますが、それぞれの公式の意味を考えながら覚えると覚えやすいと思いますので、是非意味を考えながら鉛直投げ上げ運動の公式を使ってみてください。

 

※鉛直投げ下ろしの解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

※加速度の解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

 

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