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水平投射とは? 公式の意味と覚え方-具体例やグラフを用いて水平投射運動を解説

放物線運動の一つとして有名な水平投射。

水平投射の公式は、物を真横に飛ばした時に、物の動きを「横方向に移動する運動」と、「下方向に落下する運動」の2つを数式に表した公式です。

この記事では、水平投射について、公式の意味を具体例やグラフを用いてご紹介します。

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水平投射とは? 公式の意味と覚え方-具体例やグラフを用いて水平投射運動を解説

水平投射とは、物を真横に投げた場合の運動のことです。

水平に投げたものが横に進んでいく動きは等速度運動で、だんだんと下に落下していく時の動きは等加速度運動である自由落下と同じ動きをするため、水平投射の運動は等速度運動と等加速度運動が合わさった運動となります。

水平投射にはこの横の動きと下へ落ちる動きそれぞれに公式があり、公式は下記の通りです。

水平方向の運動の公式

vx=v0

-横方向の速度=初速度

x=v0t

-横方向の変位=初速度×時間

落下方向の運動の公式

vy=gt

-下方向の速度y=重力加速度×時間

y=1/2gt^2(^2は二乗の意味)

-下方向の変位=1/2×重力加速度x時間の二乗

時間tを消去した公式

y=g/2v0^2×x^2

-下方向の変位=(重力加速度/2×初速度二乗)×横方向の変位二乗

この記事では、水平投射の公式について、横方向の運動と下方向の運動のそれぞれの公式の意味をご紹介します。

 

水平投射の公式を図解

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水平投射の運動でイメージしたいのは、例えば学校で、机の上にある消しゴムを指で弾いた時、消しゴムは机よりちょっと向こう側に落下していくときの動きです。

上の絵の赤い四角が消しゴムなら、指で弾いたときに、黄色の矢印の方向に落ちていくことが分かると思います。

この動きについて、

①横方向の速度と横方向に進む運動

②下方向の速度と下方向に落ちる運動

の2つの方向の動きとして計算するための公式が水平投射の公式です。

 

横(x)方向の動きの図解と公式

水平投射

水平投射の横の動きを見てると、上の図のように、水平投射の運動を始めてから地面に落下して赤い点の幅が変わらず、x軸の方向に同じ速度で進みます。

つまり、水平投射の場合、x軸方向の動きの速度は初速度から変わらず一定の「等速度運動」となります。

この動きの速度を表す公式が、

vx=v0(横方向の速度=初速度)

です。

また、水平投射時に横方向にどのくらい進んだかを表す変位(わった置)は、等速度運動時の距離を求めるため、「はじき」の公式と同じで、速さx時間で求めることができます。

x=v0t(横方向の変位=初速度×時間)

 

下(y)方向の動きの図解と公式

水平投射 縦

水平投射の落下方向の動きを図で見てみましょう。

上の図では、縦軸(y軸)に、赤い点と同じ高さの地点で青い点を書いてみました。

この点を見てみると、青い点は間隔がだんだんと広くなっており、横方向に等速度運動を続けながら、落下方向には加速度運動をしていることが分かります。

この下方向の加速度運動は、実は等加速度運動である自由落下運動となっているのです。

物を真横に飛ばした水平投射の場合、最終的に地面に落下し、移動が止まるまで、横方向には等加速度運動を、落下方向には自由落下を続けます。

つまり、y軸方向に移動する(落下する)時の速度と変位は自由落下の公式と全く同じ公式となるのです。

vy=gt(下方向の速度y=重力加速度×時間)

y=1/2gt^2(下方向の変位=1/2×重力加速度x時間の二乗)

 

自由落下の公式の概要

では、自由落下とは何か、をここからは説明していきます。

尚、詳しくは下の記事で詳しく解説しているので、この記事では概要をご紹介したいと思います。自由落下についてより詳しく知りたいという場合は、下の記事をご参照いただけますと幸いです。

 

※自由落下の公式の詳しい解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

自由落下の公式は、等加速度直線運動の公式とほぼ同じです。

等加速度直線運動の公式は以下の通り。

①v=v0+αt(t秒後の速度を求める公式)

②x=v0t+1/2αt^2(t秒後の変位を求める公式)

③v^2-v0^2=2αs(tが分からない時に便利な公式)

この3つの公式に

・初速度v0が0(手をそっと離す)

・加速度αに重力加速度 g=9.8[m/s2] (落ちるものの速度は一定)

の2つの条件をつけ足すことで公式が完成します。

完成した公式が

公式①:v=gt

公式②:y=1/2gt^2

公式③:v^2=2gy

の3つです。

こちらの記事では、水平投射に関係がある公式①と公式②について意味を考えてみたいと思います。尚、公式③については先にご紹介した「自由落下とは」という記事をご参照ください。

尚、等加速度直線運動のことがよくわからないという場合には、まず下記の記事を読んでから、読み進めていただくと自由落下の説明がよくわかるかなと思います。

 

※等加速度直線運動についての詳しい説明はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

v=gt(t秒後の速度を求める公式)

最初の公式は、物を落としたあと、t秒たった時の速度を求める公式です。

この公式は等加速度直線運動の公式

v=v0+αt

に初速度(v0)=0、加速度α=重力加速度g=9.8を代入したものです。

実際に代入してみると、

v=0+gt

v=gt

となりました。

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自由落下は、初速を付けずに静かに落下させるという意味なので、もちろん初速度は0となり、物が落ちる速さはどんなものでもg=9.8m/s^2で一定という決まりに従い、重力加速度gを時間に掛け算することで求めることができます。

上の図のように、1秒ごとに9.8m/sずつ落下速度が速くなっていくイメージです。

例えば、リンゴを高層ビルの屋上から自由落下させる時の10秒後の速度は

v=9.8x10

v=98m/s

となります。

自由落下 v-tグラフ 変位 

公式①をグラフにあらわすと上のグラフのようになります。

自由落下を表すグラフは0から出発しているもので、等加速度直線運動を表す線はv0から出発しているグラフです。

自由落下は初速度0を基本としているので、等加速度直線運動のように、グラフに初速度が加算されず、0から描かれるグラフとなります。

 

y=1/2gt^2(t秒後の変位を求める)

公式②は、自由落下を始めてからt秒後の変位を求める公式です。

変位というのは、物が動くことで化した置のことを指します。つまり移動した距離です。

自由落下の変位を求める公式も、等加速度直線運動の変位を求める公式に初速度v0)=0、加速度α=重力加速度(g)=9.8を代入することで作ることができます。

等加速度直線運動の変位を求める公式

x=v0t+1/2αt^2

にv0=0、α=gを代入すると

x=1/2gt^2

となりました。

ただ、等加速度直線運動の変位は左右の動きを表していました。つまり、家から駅まで少しずつ加速しながら進んでいくイメージです。

ですが、自由落下は上から下に落ちる動きなので、左右の動きの変位と落下の動きの変位を同じxで表すのはすっきりしません。そこで先人たちは自由落下の変位はyで表すこととしました。

y=1/2gt^2

これが自由落下の変位を求める公式です。

 

v-tグラフで確認

等加速度直線運動の変位の公式を考えるときにv-tグラフを使って考えると一目瞭然だったので、今回もv-tグラフを使って公式を確認してみたいと思います。

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まず、v-tグラフの簡単な説明ですが、変位=移動した距離ですので、距離=速度v×時間tで求めます。

上の図は速度v0を持つ場合ときにt秒移動した距離を表しているのですが、時間が横軸(底辺)、速度が縦軸(高さ)となっているため、通常の時間×速度で求まる移動した距離(変位)が、上の図では時間t(底辺)×速度v(高さ)で表される面積だということが分かります。

つまり、v-tグラフでは、描いたグラフの面積を求めることが、変位を求めることなのです。

 

自由落下 v-tグラフ 変位 

一方で、加速度というのは、t秒後の速度が10m/sだったとしても、そこまで達するのに、0m/s、1m/s、2m/sとだんだん速度が上がっていくので、10m/s x時間が進んだ距離とはなりません。

加速していく物体が進む距離を求めるためには、上のように、青色の三角形の部分の面積を求める必要が出てきます。

三角形の面積を求めるのですから、

底辺×高さ÷2を計算していくと、

t×gt÷2

1/2gt^2

y=1/2gt^2

となり、自由落下の公式が出来上がりました。

 

 

 

 

自由落下の3つのグラフ

最後に、自由落下運動を考えるときに便利な、g-tグラフ、v-tグラフ、y-tグラフという3つのグラフをご紹介します。

 

g-tグラフ

g-tグラフは、縦軸にg(重量加速度)、横軸にt(時間)が使用されるグラフで、重力加速度gの変化量を一目で把握できるグラフです。

自由落下運動というのは、重力加速度が9.8m/s^2で常に一定の運動ですから、グラフのgは変化せず、下の図のようなグラフとなります。

g-tグラフ

 

v-tグラフ

2つ目の公式の説明に使用したv-tグラフは速度を縦軸に、時間を横軸に記してあります。

自由落下運動では初速度が0のため、0点から右上がりに重力加速度分だけ加速していくグラフとなります。

ちなみに、等加速度直線運動の場合、初速度が加わるので、v0から右上がりに上がるグラフでした。

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y-tグラフ

y-tグラフは縦軸に変位が、横軸に時間が記されるグラフです。

落下の場合、初速度は0から始まり、時間がたつにつれて重力加速度g(9.8m/s^2)分だけ速度が増えていく(加速する)ので、落ちる距離も加速した分だけ大きくなっていきます。
この落ちていく変位(下向き)を正としたグラフを描くと、グラフは右上がりの曲線となります。

自由落下 y-tグラフ

 

時間tを消去した公式

時間tが無くても変位を計算することができる公式もあります。

y=g/2v0^2×x^2

※ブログでの分数の書き方が分からず、見づらくてすみません。

この公式は、水平方向の公式と落下方向の公式をもとに作ることができます。やり方は、x=v0tをy=1/2gt^2に代入します。

x=v0t

t=x/v0

これをy=1/2gt^2に代入すると、

y=1/2g(x/v0)^2

これを解いていけばOKです。

 

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スタディサプリの感想はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

終わりに

この記事では、水平投射についての公式の紹介とそれぞれの公式が持つ意味をご紹介しました。

水平方向の運動の公式

vx=v0

x=v0t

落下方向の運動の公式

vy=gt

y=1/2gt^2(^2は二乗の意味)

時間tを消去した公式

y=g/2v0^2×x^2

公式を暗記するのはとても大変ですが、公式の意味や成り立ちを理解することで、納得して公式を使うことができるようになると思いますので、是非、水平投射の公式の意味を考えながら勉強を進めてみてください。

 

※鉛直投げ下ろしについてはこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

 

※回転運動の加速度「角加速度」の解説はこちら

sumikuni.hatenablog.com

 

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